درس الدوال الأصلية

تمهيد
نعتبر الدالة التالفية f المعرفة كما يلى : f(x)=3x+2 ليكن D المستقيم الممثل للدالة f فى المستوى المنسوب الى معلم متعامد ومتجانس. A و B نقطتان من D لتكن 'A', B مسقطهما على محور الفواصل وفق محور التراتيب .

نفرض ان A و B فواصلهما على الترتيب 2 و 4 الرباعى 'ABA'B شبه منحرف قائم مساحته هى
S== (AA'+BB')xA'B'/2 ومنه S = (8+14) x 2/2 اى S= 22
نفرض الان ان A و B فواصلهما على الترتيب x 1 و x 2 مع , x 1<x 2 , f(x 1)> 0 f(x 2)>0 الرباعى
'ABA'B شبه منحرف قائم مساحته هى S== (AA'+BB')xA'B'/2 بما ان النقطتين A,B تنتميان
الى المستقيم D ترتيبهما , f(x 1) = 3x 1+2 , f(x 2) = 3x 2+2 .
لدينا اذا AA' = f(x 1) , BB '=f (x 2) , A'B' = x 2-x 1 نستنتج :
S== (f(x 1) + f(x 2)) x( x 2-x 1 ) / 2 ومنه S== (3 x 1+2 + 3 x 2+2 ) x( x 2-x 1 ) / 2
ومنه S== (3 x 1+2 + 3 x 2+2 ) x( x 2-x 1 ) / 2
ومنه S== (3 x 1+2 + 3 x 2+2 ) x( x 2-x 1 ) / 2
بعد النشر و الترتيب نجد : ( S== 3 /2x 2² +2 x 2 - ( 3 /2x 1² + 2 x 1
اذا اعتبرنا الدالة g المعرفة على R كما يلى : g(x) = 3/2 x² + 2x يمكن ان نكتب
( S== g(x 2)-g( x 1
نلاحظ انالدالة g قابلة للاشتقاق على R و f(x) = g ' (x) = 3x + 2 اذا الدالة g هى دالة مشتقتها f
نقول ان الدالة g هى دالة اصلية للدالة f .
تعريف
f دالة معرفة على مجال I ,نسمى دالة اصلية للدالة f كل دالة F معرفة وقابلة للاشتقاق على I ,و التى
مشتقتها هى f.
المثال :
الدالة f المعرفة على R ب : f(x)=2x لها دالة اصلية F معرفة على R ب : F(x)=x² لان F'=f
لاحظ انه يمكن اخذ الدالة Fعلى الشكل : F(x)=x²+2 او F(x)=x²-1 او بشكل عام F(x)=x²+ c
حيث c عدد حقيقى , الدالة الاصلية ليست وحيدة .
تمرين 1
f دالة معرفة على R . اوجد فى كل الحالات التالية الدالة الاصلية للدالة f
a) f(x) = 3 , b) f(x) = -2x , c) f(x) = -5x²

d) f(x) = x²-x+2 , e) f(x)=2x 3 , f) f(x) = (x-2) / 3
الخواص
اذا كانت F 0 دالة اصلية للدالة f على المجال I فان مجموعة الدوال الاصلية للدالة f هى F=F 0+c c عدد حقيقى .
f دالة تقبل دوال اصلية على مجال I , ليكن x 0عنصر من I و y 0عنصر من R توجد دالة اصلية وحيدة F بحيث
F(x 0)=y 0 .
لاحظ : كل دالة مستمرة على مجال تقبل دوال اصلية على هذا المجال .
تمرين2
f دالة معرفة على R حيث ( f(x) = cos(x .عين الدالة الأصلية للدالة f التي تأخذ القيمة 0 عند 1
الدوال الأصلية لدوال مألوفة
الدالة
دالتها الاصلية RÎk
f(x) =0
F(x)= k
f(x) =1
F(x)= x + k
f(x)=a
F(x)= a x + k
f(x) =x
F(x)= 1/2 x + k
f(x) =x²
F(x)= 1/3 x 3 + k
f(x) =1/x²
F(x)= -1/x + k
f(x) =1/x
F(x)= ln x +k
f(x) =sin x
F(x)= -cos x + k
f (x) =cos x
F(x)= sin x + k
f(x) = e x
F(x)= e x + k
f(x) = 1+tan 2 x
F(x)= tan x + k
f(x) = 1/ Öx
F(x)= 2 Öx + k
f(x) =x n n Z -{-1}
F(x)= 1/(n+1) x n+1 + k
f(x) = u'(x)u n(x) n Z -{-1}
F(x)= 1/(n+1) u n+1 (x) + k
f(x) = u'(x)/ Öu(x)
F(x)= 2 Öu(x) + k
f(x) = u'(x)/u(x)
F(x)= ln |u(x)| +k
f(x) = u'(x)e u(x)
F(x)= e u(x) +k
تمرين 3
عين دالة اصلية للدالة f واوجد مجال تعريف هذه الدالة الاصلية :
a) f(x)=(-2x+4) 5 b) f(x)=(2x+1)/(x²+x+1) 4 c) f(x)=sinx cos 3x
d) f(x)=(ln x) 2 /x e) 3x/Ö(x²+1) f) f(x)= 1/ Ö(x+1) g) f(x)=(x+2)/(x²+4x+3)
h) f(x)=2x e x² i) f(x)=e 3x+1 j) f(x)=xcos(x²+p) k) f(x)= (lnx)/x
l) f(x)=(e x+1)/e x m) f(x)=sin(x)/(2+cosx) n) f(x)=x 3/(1+x²)